蓝桥杯 2015省赛 C/C++ A T9
知识点
矩阵运算+快速幂
题目
垒骰子
赌圣atm晚年迷恋上了垒骰子，就是把骰子一个垒在另一个上边，不能歪歪扭扭，要垒成方柱体。
经过长期观察，atm 发现了稳定骰子的奥秘：有些数字的面贴着会互相排斥！
我们先来规范一下骰子：1 的对面是 4，2 的对面是 5，3 的对面是 6。
假设有 m 组互斥现象，每组中的那两个数字的面紧贴在一起，骰子就不能稳定的垒起来。
atm想计算一下有多少种不同的可能的垒骰子方式。
两种垒骰子方式相同，当且仅当这两种方式中对应高度的骰子的对应数字的朝向都相同。
由于方案数可能过多，请输出模 10^9 + 7 的结果。不要小看了 atm 的骰子数量哦～
「输入格式」
第一行两个整数 n m
n表示骰子数目
接下来 m 行，每行两个整数 a b ，表示 a 和 b 数字不能紧贴在一起。「输出格式」
一行一个数，表示答案模 10^9 + 7 的结果。「样例输入」
2 1
1 2「样例输出」
544「数据范围」
对于 30% 的数据：n <= 5
对于 60% 的数据：n <= 100
对于 100% 的数据：0 < n <= 10^9, m <= 36资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 2000ms
思路
首先考虑递归方法，递归函数为上一层定好了朝上的数字的情况下，垒好cnt个骰子的方案数。但该种方法复杂度过高，超时。
其次考虑动态规划方法，dp[i][j]表示第i层j朝上的方案数，$dp[i][j]=\sum_{x=1}^6dp[i-1][x]$当op[j]与x不冲突，$ans=\sum_{j=1}^6dp[n][j]$,，最终结果还需要乘以4的n次方。但这种方法复杂度仍然过高，由于$n<=10^9$，线性算法很可能超时，需要考虑log级别的算法。
| 示例情况 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 第一层 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 第二层 | 6 | 6 | 6 | 5 | 5 | 6 |
最后考虑矩阵运算方法，将动态规划方法转换为矩阵运算实现，示例情况下考虑矩阵乘法$CF=D$，矩阵$C$为冲突矩阵，矩阵$F$为第一层各个数字方案数，二者相乘即为第i层k向上的方案数，也即dp算法中的行向量。当有n层时，矩阵$D$即为$C^{n-1}F$，则问题转换为矩阵运算问题，最终复杂度为$log(n-1)\times6^3$。
$$
\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
1 \
1 \
1 \
1 \
1 \
1 \
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
5 \
5 \
6 \
6 \
6 \
6 \
\end{matrix}
\right]
$$
代码
// 递归方法，复杂度过高，超时
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <sstream>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
int n, m;
int op[7];
bool conflict[7][7];
long long int f(int up, int cnt)
{
if (cnt == 0)
return 4;
long long ans = 0;
for (int upp = 1; upp <= 6; upp++)
{
if (conflict[op[up]][upp])
continue;
ans = (ans + f(upp, cnt - 1)) % MOD;
}
return ans;
}
void init()
{
op[1] = 4;
op[4] = 1;
op[2] = 5;
op[5] = 2;
op[3] = 6;
op[6] = 3;
}
int main()
{
init();
scanf("%d %d", &n, &m);
int a, b;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
scanf("%d %d", &a, &b);
conflict[a][b] = true;
conflict[b][a] = true;
}
long long ans = 0;
for (int up = 1; up <= 6; up++)
ans = (ans + 4 * f(up, n - 1)) % MOD;
cout << ans << endl;
return 0;
}// 动态规划方法，仍超时
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <sstream>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
int n, m;
int op[7];
bool conflict[7][7];
long long dp[2][7]; // dp[i][j]表示有i层，限定朝上的数字为j的稳定方案数
void init()
{
op[1] = 4;
op[4] = 1;
op[2] = 5;
op[5] = 2;
op[3] = 6;
op[6] = 3;
}
int main()
{
init();
scanf("%d %d", &n, &m);
int a, b;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
scanf("%d %d", &a, &b);
conflict[a][b] = true;
conflict[b][a] = true;
}
for (int i = 1; i <= 6; i++)
dp[0][i] = 1;
int cur = 0;
for (int level = 2; level <= n; level++)
{
cur = 1 - cur;
// 尝试将6个面放在当前一层朝上的方向
for (int j = 1; j <= 6; j++)
{
dp[cur][j] = 0;
for (int i = 1; i <= 6; i++)
{
if (conflict[op[j]][i])
continue;
dp[cur][j] = (dp[cur][j] + dp[1 - cur][i]) % MOD;
}
}
}
long long sum = 0;
for (int k = 1; k <= 6; k++)
sum = (sum + dp[cur][k]) % MOD;
// 快速幂，求4的n次方
long long ans = 1;
long long tmp = 4;
long long p = n;
while (p != 0)
{
if (p & 1 == 1)
ans = (ans * tmp) % MOD;
tmp = (tmp * tmp) % MOD;
p >>= 1;
}
cout << (sum * ans) % MOD << endl;
return 0;
}// 矩阵运算方法
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <sstream>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
int n, m;
int op[7];
long long dp[2][7]; // dp[i][j]表示有i层，限定朝上的数字为j的稳定方案数
void init()
{
op[1] = 4;
op[4] = 1;
op[2] = 5;
op[5] = 2;
op[3] = 6;
op[6] = 3;
}
struct Mat
{
long long a[6][6];
Mat()
{
for (int i = 0; i < 6; i++)
for (int j = 0; j < 6; j++)
a[i][j] = 1;
}
};
Mat MatMultiply(Mat m1, Mat m2)
{
Mat ans;
for (int i = 0; i < 6; i++)
for (int j = 0; j < 6; j++)
{
ans.a[i][j] = 0;
for (int k = 0; k < 6; k++)
ans.a[i][j] = (ans.a[i][j] + m1.a[i][k] * m2.a[k][j]) % MOD;
}
return ans;
}
Mat MatPow(Mat m, int k)
{
Mat ans;
for (int i = 0; i < 6; i++)
for (int j = 0; j < 6; j++)
ans.a[i][j] = (i == j);
while (k != 0)
{
if ((k & 1) == 1)
ans = MatMultiply(ans, m);
m = MatMultiply(m, m);
k >>= 1; //向右移动1位
}
return ans;
}
int main()
{
init();
scanf("%d %d", &n, &m);
int a, b;
Mat matrix;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
scanf("%d %d", &a, &b);
matrix.a[op[a] - 1][b - 1] = 0;
matrix.a[op[b] - 1][a - 1] = 0;
}
Mat c_mat_n_1 = MatPow(matrix, n - 1);
long long sum = 0;
for (int i = 0; i < 6; i++)
for (int j = 0; j < 6; j++)
sum = (sum + c_mat_n_1.a[i][j]) % MOD;
// 快速幂，求4的n次方
long long ans = 1;
long long tmp = 4;
long long p = n;
while (p != 0)
{
if (p & 1 == 1)
ans = (ans * tmp) % MOD;
tmp = (tmp * tmp) % MOD;
p >>= 1;
}
cout << (sum * ans) % MOD << endl;
return 0;
}
